Дипломная работа: Линейные уравнения второго порядка функция Грина

[quote]

Содержание

Введение………………………………………………………………………
I Раздел. Линейная двухточечная краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка
1.1. Однородное линейное уравнение второго порядка…………………
1.2.Структура общего решения неоднородного уравнения……………..
1.3.Метод вариации произвольных постоянных………………………..
1.4.Необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка……………………………………………………………..
1.5.Определение функции Грина………………………………………….
1.6.Существование функции Грина и алгоритм ее построения………….
1.7.Представление решения краевой задачи с помощью функции Грина ……………………………………………………….………………..
II Раздел. Построение решения краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
2.1.Построение фундаментальной системы решений однородного линейного обыкновенного дифференциального уравнения…………….
2.2.Построение частного решения неоднородного линейного обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами……………………………………………………………..
2.3.Некоторые линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка, приводящиеся к уравнениям с постоянными коэффициентами…………………………………………………………….
2.4.Линейное уравнение Эйлера…………………………………………..
2.5.Уравнение Чебышева……………………………………………………
2.6.Построение функции Грина и решение линейной краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами…………………………………………………………….
Заключение…………………………………………………………………
Список использованной литературы………………………………….....
Линейная двухточечная краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка
1.1.Однородное линейное уравнение второго порядка
На отрезке [a,b] рассматривается линейная двухточечная краевая задача
(d^2 y)/(dt^2 )+q_1 (t) dy/dt+q_2 (t)y=f(t) (1.1.1)
y(a)=y^0, y(b)=y^1, (1.1.2)
где q_1 (t),q_2 (t),f(t) непрерывны на отрезке [a,b].y^0,y^1- заданные числа.
Целью являются: а) выяснение необходимых и достойных условий однозначной разрешимости задачи (1.1.1), (1.1.2); б) построение функции Грина; в) нахождение решений.
Решением задачи (1.1.1),(1.1.2) будет непрерывная, дважды дифференцируемая функция удовлетворяющая уравнению (1.1.1) и краевым условиям (1.1.2).
В дальнейшем будет показано, что для интегрирования неоднородного линейного уравнения (1.1.1) достаточно найти общее решение соответствующего однородного уравнения
(d^2 y)/(dt^2 )+q_1 (t) dy/dt+q_2 (t)y=0 (1.1.3)
Начнем с общей теории линейных уравнений второго порядка с изучения однородных линейных уравнений (1.1.3).
Мы должны найти вещественные решения уравнения (1.1.3). Как мы знаем, для решения этой задачи иногда оказывается выгодно сначала найти некоторые комплексные решения.
Прежде чем дать понятие о комплексном решении уравнения (1.1.3) дадим определение комплексной функции вещественной переменной
Функцию
z(t)=u(t)+iu(t),
где u(t) и ϑ(t) - вещественные функции от вещественной переменной t,a i=√(-1) будем называть комплексной функцией от вещественной переменной t. Функции u(t) и ϑ(t) называются вещественной и мнимой частями комплексной функции z(t). Примером такой функции является:
e^it=cost+isint,
Или функция общего вида e^αt,где α=a+ib, причем a и b – вещественные:
e^αt=e^(a+it)t=e^at∙ e^ibt=e^at (cosbt+isinbt)=e^at cosbt+〖ie〗^at sinbt
Производная n-го порядка от функции z(t) по вещественной переменной t определяется таким образом:
z^((n) ) (t)=u^((n) ) (t)+〖iϑ〗^((n) ) (t)
Дадим теперь понятие о комплексном решении уравнения (1.1.3). Комплексная функция от вещественной переменной t
y(t) 〖=y〗_1 (t)+〖iy〗_2 (t) (1.1.4)
называется комплексным решением однородного линейного уравнения (1.1.3), если подстановка ее в уравнение (1.1.3) обращает это уравнение в тождество, т.е. если
d^2/〖dt〗^2 (y_1 (t)+〖iy〗_2 (t))+q_1 (t) d/dt (y_2 (t)+〖iy〗_2 (t))+q_2 (t)(y_1 (t)+〖iy〗_2 (t))≡0 (1.1.5)
Покажем, что, решение уравнения (1.1.3) порождает два вещественных решения этого уравнения, а именно: если комплексная функция y(t) является решением уравнения (1.1.3), то ее вещественная и мнимая части являются вещественными решениями этого уравнения.
В самом деле, пусть функция (1.1.4) - решение уравнения (1.1.3). Тогда мы имеем тождество (1.1.5), и имеем:

((d^2 y_1)/〖dt〗^2 +q_1 (t) 〖dy〗_1/dt+q_2 (t)y_1 )+i((d^2 y_2)/〖dt〗^2 +q_1 (t) 〖dy〗_2/dt+q_2 (t)y_2 )≡0
откуда
(d^2 y_1)/〖dt〗^2 +q_1 (t) 〖dy〗_1/dt+q_2 (t) y_1≡0, (d^2 y_2)/〖dt〗^2 +q_1 (t) 〖dy〗_2/dt+q_2 (t)y_2≡0,
а это означает, что y_1 (t) и y_2 (t) являются решениями уравнения (1.1.3).
Приведем три «замечателных» свойства решений однородного линейного уравнения.
1^0. Если y_2 есть решение однородного линейного уравнения (1.1.3), т.е.
(d^2 y_1)/〖dt〗^2 +q_1 (t) 〖dy〗_1/dt+q_2 (t) y_1≡0,
то функция
y=Cy_1
где C- произвольная постоянная, тоже является решением этого уравнения.
2^0. Если y_1 и y_2 - решения уравнения (1.1.3), то их сумма
〖y=y〗_1 + y_2
Также является решением уравнения (1.1.3).
3^0. Если y_1,y_2 - решения уравнения (1.1.3), то их линейная комбинация
y=C_1 y_1+C_2 y_2
где C_1 〖,C〗_2-произвольные постоянные, тоже является решением уравнения (1.1.3).
Это свойство следует из 1^0 и 2^0.
Чтобы нам ответить на вопрос «Каковы должны быть два частных решения y_1,y_2, чтобы формула

y=C_1 y_1+C_2 y_2
содержащая два произвольных постоянных 〖 C〗_1 〖,C〗_2 давала общее решение уравнения (1.1.3)?». Введем понятие о линейной независимости функций.
Определение. Функции y_1,y_2 называются линейно независимыми на (a,b), если между ними не существует соотношение вида
〖 α〗_1 y_1+α_2 y_2≡0 при a


Мақала ұнаса, бөлісіңіз: