Дипломная работа: Однородные и неоднородные линейные уравнения второго порядка функция Грина

[quote]

Содержание

Введение……………………………………………………………………
1 раздел Линейная двухточечная краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка………………………..
§1 Однородное линейное уравнение второго порядка ……………...
§2 Неоднородное линейное уравнение второго порядка ………….…..
2.1 Структура общего решения неоднородного уравнения ………...
2.2 Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)…..
2.3 Необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка ………………………………………………………….
2.4 Определение функции Грина…………………………………….…
2.5 Существование функции Грина и алгоритм ее построения….…...
2.6 Представление решения краевой задачи с помощью функции Грина…………………………………………………………………
2 раздел Построение решения краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами……..…
§1 Построение фундаментальной системы решений однородного линейного обыкновенного дифференциального уравнения методом Эйлера………………………………………………………………..….
§2 Построение частного решения неоднородного линейного обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами…………………………………………………………
§3 Некоторые линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка, приводящиеся к уравнениям с постоянными коэффициентами…………………………………………………………
3.1 Линейное уравнение Эйлера…………………………………….……
3.2 Уравнение Чебышева………………………………………………
§4 Построение функции Грина и решение линейной краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами…………………………………………………………
Заключение…………………………………………………………………Список использованной литературы…………………
§1.Однородное линейное уравнение второго порядка
Мы должны найти все вещественные решения уравнения (1.3). Как известно, для решения этой задачи иногда оказывается выгодно сначала найти некоторые комплексные решения.
Прежде чем дать понятие о комплексном решении уравнения (1.3) дадим определение комплексной функции вещественной переменной.
Функцию
z(t)=u(t)+iu(t),
где u(t) и ϑ(t) - вещественные функции от вещественной переменной t,a i=√(-1) будем называть комплексной функцией от вещественной переменной t. Функции u(t) и ϑ(t) называются соответственно вещественной и мнимой частями комплексной функции z(t). Примером такой функции является
e^it=cost+isint,
Или функция более общего вида e^αt,где α=a+ib, причем a и b – вещественные:
e^αt=e^(a+it)t=e^at∙ e^ibt=e^at (cosbt+isinbt)=e^at cosbt+〖ie〗^at sinbt
Производная n-го порядка от функции z(t) по вещественной переменной t определяется так:
z^((n) ) (t)=u^((n) ) (t)+〖iϑ〗^((n) ) (t)
Дадим теперь понятие о комплексном решении уравнения (1.3). Комплексная функция от вещественной переменной t
y(t) 〖=y〗_1 (t)+〖iy〗_2 (t) (1.4)
называется комплексным решением однородного линейного уравнения (1.3), если подстановка ее в уравнение (1.3) обращает это уравнение в тождество, т.е. если
d^2/〖dt〗^2 (y_1 (t)+〖iy〗_2 (t))+q_1 (t) d/dt (y_2 (t)+〖iy〗_2 (t))+q_2 (t)(y_1 (t)+〖iy〗_2 (t))≡0 (1.5)
Покажем, что всякое решение уравнения (1.3) порождает два вещественных решения этого уравнения, а именно: если комплексная функция y(t) является решением уравнения (1.3), то ее вещественная и мнимая части являются вещественными решениями этого уравнения.
В самом деле, пусть функция (1.4) есть решение уравнения (1.3). Тогда мы имеем тождество (1.5), и мы имеем:-

((d^2 y_1)/〖dt〗^2 +q_1 (t) 〖dy〗_1/dt+q_2 (t)y_1 )+i((d^2 y_2)/〖dt〗^2 +q_1 (t) 〖dy〗_2/dt+q_2 (t)y_2 )≡0
откуда
(d^2 y_1)/〖dt〗^2 +q_1 (t) 〖dy〗_1/dt+q_2 (t) y_1≡0, (d^2 y_2)/〖dt〗^2 +q_1 (t) 〖dy〗_2/dt+q_2 (t)y_2≡0,
а это и означает, что y_1 (t) и y_2 (t) являются решениями уравнения (1.3).
Приведем три замечательных свойства решений однородного линейного уравнения.
1^0. Если y_2 есть решение однородного линейного уравнения (1.3), т.е.
(d^2 y_1)/〖dt〗^2 +q_1 (t) 〖dy〗_1/dt+q_2 (t) y_1≡0,
то функция
y=Cy_1
где C- произвольная постоянная, тоже является решением этого уравнения.
2^0. Если y_1 и y_2 -решения уравнения (1.3), то их сумма
〖y=y〗_1 + y_2
тоже является решением уравнения (1.3).
3^0. Если y_1,y_2 - решения уравнения (1.3), то их линейная комбинация

y=C_1 y_1+C_2 y_2
где C_1 〖,C〗_2-произвольные постоянные, тоже является решением уравнения (1.3).
Это свойство следует из 1^0 и 2^0.
Чтобы ответить на вопрос «Каковы должны быть два частных решения y_1,y_2, чтобы формула

y=C_1 y_1+C_2 y_2
содержащая два произвольных постоянных 〖 C〗_1 〖,C〗_2 давала общее решение уравнения (1.3)?» введем понятие о линейной независимости функций.
Определение. Функции y_1,y_2 называются линейно независимыми а интервале (a,b), если между ними не существует соотношение вида
〖 α〗_1 y_1+α_2 y_2≡0 при a


Мақала ұнаса, бөлісіңіз: